Mes petits cours de Math. : Les équations

Définition : Une équation est une égalité composée de différents termes dont au moins une inconnue. (Inconnue généralement symbolisée par une lettre x a…).

Nous travaillons bien évidemment dans R et nous avons vu comment utiliser les lettres.

Commençons donc par nous rappeler des évidences :

Nous savons que 1+1 = 2 est une égalité vraie et que 1 + 2 = 5 est une égalité fausse.

Mais pour x + 1 = 2 ou x + 1 = 3 Savons-nous vraiment si c’est une égalité vraie ou fausse.

x + 1 = 2 et x + 1 = 3 sont des équations

Pour savoir si ces égalités sont vraies ou fausses, il nous faut résoudre l’équation, c’est à dire calculer la valeur de la ou des inconnues de l'égalité. Ici c’est trouver la valeur de x dans chacune des équations.

Les résultats trouvés s’appellent les solutions de l’équation.

Mais pour être plus précis dans notre raisonnement, nous n’allons pas chercher si ces équations sont vraies ou fausses, mais nous allons chercher pour quelles valeurs ces équations sont vraies.

Dans un second temps, nous nous attacherons à résoudre des équations à deux inconnues sous forme de système d’équations.

RESOUDRE UNE EQUATION :

Il y a trois propriétés fondamentales à connaître pour la résolution d’une équation. Nous les avons déjà vues mais sur lesquelles je me permets d’insister :

Si a + b = c alors a = c – b
Exemple 3 + 5 = 8 alors 3 = 8-5 Evident non !

Ceci est une évidence mais ce qu’il faut retenir de cette règle est que chaque fois que Nous transférons un terme de l'un ou de l'autre des côtés de l'égalité, nous devons changer le signe de ce terme. Cela veut également dire que nous avons effectué une soustraction de b dans les deux termes.

EXEMPLE : 3 x + 4 = 16 Þ 3 x = 16 - 4 (attention 4 est devenu -4)

Si a X b = c alors a = c/b

Evident aussi me direz vous mais ce qu’il faut retenir ici c’est que dans la seconde égalité, j’ai divisé a par b pour trouver c/b.

EXEMPLE : 2 x + 3 = 15
                        2 x = 15 - 3
                        2 x = 12      et pour trouver x nous devons diviser les deux termes par 2.
                        x = 6

si –a = b alors a = -b       Nous avons multiplié les deux termes par –1.

EXEMPLE : -x = 2 alors x = -2 cette propriété nous permet de trouver notre inconnue x

En résumé, nous devons retenir que lorsque nous effectuons un calcul sur un terme terme, nous devons faire le même de l’autre côté.

Nous pouvons maintenant résoudre nos équations sans grande difficulté.

Nous allons travailler sur les équations de premier degré, c’est à dire avec une seule inconnue non élevée au carré.

Procédons maintenant à la résolution d’une équation.

Prenons l’équation 10x + 9 = 5 + 2 x

Nous allons procéder littéralement pas à pas.

Nous commencerons à mettre les x d’un côté

10 x – 2 x = 5 – 9 (Nous avons soustrait 2 x et 9 de chaque côté)

maintenant réalisons les opérations

8 x = -4

réduisons à l’expression de x

x = -4/8 (Nous avons divisé par 8 des deux côtés )

simplifions

x = -1/2
Prenons maintenant le cas d’une équation qui n’a pas de solution

3 x + 7 = 5 + 3 x

Nous effectuons le raisonnement que nous avons vu ci-dessus :
3x – 3x = 5 – 7

0 = -2

Nous nous retrouvons avec une égalité fausse. et nous pouvons affirmer que cette équation n’a pas de solution.

Nous pouvons aussi rencontrer une équation qui a une infinité de solution

4 – 2 x = 4 – 2 x

4 – 4 = 2 x – 2 x

0 = 0

C’est équation a une infinité de solution car quelque soit la valeur de x, nous aurons toujours une égalité.
Nous pouvons affirmer que la solution de l’équation est l’ensemble R.

LES EQUATIONS PRODUITS

Comme précédemment, il nous faudra trouver la valeur de l’inconnue dans une équation égale à zéro.

Ceci n’a rien de bien compliqué puisque nous aurons deux produits de la forme

(ax + b)(cx + d) = 0

Nous savons qu’une multiplication (ou produit) est égale à zéro quand un ou tous ces termes sont égaux à zéro.

Dans l’exemple ci-dessus nous savons donc que :

ax + b = 0
cx + d = 0
soit x = -b/a et x= -d/c

L’ensemble de nos solutions sera (-b/a ; -d/c)

EXEMPLE :

(4 x + 5)(3 x – 2) = 0
(4 x + 5) = 0                                                   (3 x – 2) = 0
4x = -5                                                           3x = 2
x = -5/4                                                          x = 2/3

L’ensemble de nos solutions est donc (-5/4, 2/3)

(5x – 2)(3x- 6)(x + 3) = 0
(5x – 2) = 0                                        (3x- 6) = 0                              (x + 3) = 0
5x = 2                                                 3x = 6                                     x = -3
x = 2/5                                                x = 6/3 = 2                              x = -3

Les solutions sont (-3, 2/5, 2)

Les équations sont très utiles pour la résolution de problème, nous parlerons donc maintenant de la mise en équation d’un problème.

MISE EN EQUATION D’UN PROBLEME

Nous savons que pour trouver une solution à un problème il nous faut trouver la solution à une ou plusieurs inconnues.

La seule difficulté majeure est de définir notre inconnue. Généralement, c’est la question du problème, donc cela ne pose pas réellement de problème.

Prenons un exemple qui illustrera notre cours.

Le cinéma du village a fait salle comble. Il y a 250 places. Les 45 enfants présents ont payé demi tarif. La recette de cette projection a rapporté 1.137,50 €.

Calculez le prix d’une place adulte.

Etape 1 : nous définissons notre inconnue.

Dans le cas, notre inconnue est le prix de la place adulte que nous nommerons x

Etape 2 : nous comprenons les données du problème et les rangeons

Nous avons que

la salle comprend 250 places.
Que 45 enfants étaient présents
Que les enfants ont payé demi-tarif
Que la recette totale était de 1.137,50 €

Etape 3 : nous analysons les données :

La salle comprend 250 places et 45 enfants étaient présents

Cela veut dire que nous pouvons calculer le nombre d’adultes présents :

250 – 45 = 205 soit 205 adultes présents

Nous pouvons mettre sous x la part de recette des adultes : 205 x

Les enfants ont payé demi-tarif

Cela veut dire que nous pouvons mettre sous forme de x la part de recette des enfants :

45x/2 ce qui littéralement nous dit : 45 enfants ont payé une place chacun (x) demi-tarif (/2)

Etape 4 : mise en équation du problème

Que la recette totale était de 1137,50 €

Cette dernière donnée va nous permettre de mettre notre problème sous forme d’équation :

Le nombre de places adultes + le nombre de places enfants = la recette.

205 x + 45x/2 = 1.137 ,50

Etape 5 : résolution de l’équation

205 x + 45x/2 = 1137,50

Nous commençons par mettre tous nos termes sous le même dénominateur commun (soit ici 2)

410x/2 + 45x/2 = 2275/2

Nous pouvons maintenant supprimer le dénominateur et calculer notre équation normalement :

410 x + 45 x = 2275
455 x = 2275
x = 5

Nous vérifions notre résultat en remplaçant x par 5 dans notre équation de base :

205 X 5 + 45X 5/2 = 1137,50 cela correspond bien au montant de la recette. Notre résultat est juste !

Etape 6 : retranscription du résultat mathématique en réponse littérale :

Le prix plein tarif de la place de cinéma est de 5 euros.

Notre problème mathématique est résolu.

Je vous laisse quelques jours pour maitriser les équations et la prochaine fois nous verrons SYSTEME D’EQUATION A DEUX INCONNUES.

Bonne fin de journée à tous

Gaelle Laborie

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