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Article N°26270
Mes petits cours de Math. : Les puissances
Définition
Si nous prenons un réel x non nul, et un entier relatif a (a s'appelle l'exposant) quelconque, l’écriture d’une puissance se note ainsi xa et se lit x exposant a.
Nous pouvons également dire que x est élevé à la puissance a.
Si nous prenons un réel x non nul, et un entier relatif a (a s'appelle l'exposant) quelconque, l’écriture d’une puissance se note ainsi xa et se lit x exposant a.
Nous pouvons également dire que x est élevé à la puissance a.
sauf cas particuliers suivants où : x² se lit x au carré x² =x X x
x3 se lit x au cube x3= x X x X x
Dans notre exemple xa (avec x différent de zéro)
Si a est supérieur à 1 alors xa = x X x X x et ce a fois
x à la puissance (ou exposant) a se multiplie par lui même, autant de fois que l'indique la puissance a.
Exemple :
45 = 4 X 4 X 4 X 4 X 4 = 1024 donc 4 se multiplie par lui même à 5 reprises.
Si a = 1 alors x1 = x
Exemple :
41 = 4
Si a = 0 alors x0 = 1
Exemple :
40 = 1
Etudions maintenant les signes d’une puissance :
Il faut retenir impérativement que :
- Une puissance d'un nombre négatif dont l'exposant est pair est un nombre positif
Exemple : (-5)6 = 15625
- Une puissance d'un nombre négatif dont l'exposant est impair est un nombre negatif
Exemple : (-5)5 = -3125
Des pièges à éviter
La puissance s’adresse au nombre placé devant ou entre parenthèses.
La puissance est toujours prioritaire sur les autres opérations.
Exemple :
-52 = -25 et (-5)2 = 25
5 x 23 = 40 et (5x2)3 = 1000
9 + 92 = 90 et (9 + 9)² = 324
Addition et soustraction de deux puissances :
On applique les règles de priorités :
Les nombres élevés à une puissance sont prioritaires donc : on effectue les calculs de puissances avant les additions et les soustractions :
Exemple : 25 + 33 + 5² = 32 + 27 + 25 = 84
Multiplications et les divisions de deux puissances :
On applique les règles de priorités : on effectue les calculs de puissances avant les multiplications et les divisions.
25 X 33 = 32 x 27 = 864
Nous rencontrons ensuite des priorités ou règles de calcul au niveau des puissances. Rassurez vous, ceci va vous faciliter la tâche :
Multiplication (ou produit) de deux puissances du même nombre :
Reprenons notre x.
Si nous nous retrouvons dans le cas ou notre x est élevé à plusieurs puissance dans une même multiplication. Nous aurons donc :
xa X xb X xc sera égal à xa+b+c
Donc pour multiplier les puissances d’un même nombre nous additionnons les exposants.
Exemple : 25 X 23 X 2² = 25+3+2 = 210 = 1024 facile non !!!
Maintenant pour calculer le résultat du produit de nombres différents élevés à la même puissance nous faisons :
xa X ya X za = (x X y X z) a
Exemple : 22 X 32 X 42 = (2 X 3 X 4)² = 576
Division ou quotient de puissances :
Commençons par le quotient de deux puissances du même nombre :
Il nous faut simplement soustraire les exposants :
Quand nous avons deux nombres différents élevés à une même puissance nous pouvons d’abord calculer ou simplifier le quotient :
Prochain module : Les puissances de 10 - Bonne journée.
x3 se lit x au cube x3= x X x X x
Dans notre exemple xa (avec x différent de zéro)
Si a est supérieur à 1 alors xa = x X x X x et ce a fois
x à la puissance (ou exposant) a se multiplie par lui même, autant de fois que l'indique la puissance a.
Exemple :
45 = 4 X 4 X 4 X 4 X 4 = 1024 donc 4 se multiplie par lui même à 5 reprises.
Si a = 1 alors x1 = x
Exemple :
41 = 4
Si a = 0 alors x0 = 1
Exemple :
40 = 1
Etudions maintenant les signes d’une puissance :
Il faut retenir impérativement que :
- Une puissance d'un nombre négatif dont l'exposant est pair est un nombre positif
Exemple : (-5)6 = 15625
- Une puissance d'un nombre négatif dont l'exposant est impair est un nombre negatif
Exemple : (-5)5 = -3125
Des pièges à éviter
La puissance s’adresse au nombre placé devant ou entre parenthèses.
La puissance est toujours prioritaire sur les autres opérations.
Exemple :
-52 = -25 et (-5)2 = 25
5 x 23 = 40 et (5x2)3 = 1000
9 + 92 = 90 et (9 + 9)² = 324
Addition et soustraction de deux puissances :
On applique les règles de priorités :
Les nombres élevés à une puissance sont prioritaires donc : on effectue les calculs de puissances avant les additions et les soustractions :
Exemple : 25 + 33 + 5² = 32 + 27 + 25 = 84
Multiplications et les divisions de deux puissances :
On applique les règles de priorités : on effectue les calculs de puissances avant les multiplications et les divisions.
25 X 33 = 32 x 27 = 864
Nous rencontrons ensuite des priorités ou règles de calcul au niveau des puissances. Rassurez vous, ceci va vous faciliter la tâche :
Multiplication (ou produit) de deux puissances du même nombre :
Reprenons notre x.
Si nous nous retrouvons dans le cas ou notre x est élevé à plusieurs puissance dans une même multiplication. Nous aurons donc :
xa X xb X xc sera égal à xa+b+c
Donc pour multiplier les puissances d’un même nombre nous additionnons les exposants.
Exemple : 25 X 23 X 2² = 25+3+2 = 210 = 1024 facile non !!!
Maintenant pour calculer le résultat du produit de nombres différents élevés à la même puissance nous faisons :
xa X ya X za = (x X y X z) a
Exemple : 22 X 32 X 42 = (2 X 3 X 4)² = 576
Division ou quotient de puissances :
Commençons par le quotient de deux puissances du même nombre :
Il nous faut simplement soustraire les exposants :
Quand nous avons deux nombres différents élevés à une même puissance nous pouvons d’abord calculer ou simplifier le quotient :
Prochain module : Les puissances de 10 - Bonne journée.
Gaelle Laborie
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